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菲尔茨奖得主Thurston的十个故事

2022-04-05 04:12:54189 ℃

   译  者  按

  William Thurston(昵称 Bill)是 1982 年数学界最高奖菲尔兹奖得主,2012 年去世。他的数学研究就像进行魔术表演,总是突然就从帽子里抽出绝妙的创意,无数次让世界范围内的数学家们惊叹不已。1970-1980年间,Thurston 的研究工作在拓扑学领域引起了一场翻天覆地的革命,对数学界的影响一直持续到现在。

  Dennis Sullivan 是 2010 年数学界另一个大奖沃尔夫奖得主,在代数拓扑和复动力系统两个领域为数学界作出深刻的贡献。Thurston 和 Sullivan 的研究有着很大的交集。当 Sullivan 得知 Thurston 去世的消息后,他迅速写下了这十个记录他们之间来往的故事。

  撰文|Dennis Sullivan

  翻译|杜晓明

  故事一

  1971 年 12 月,在伯克利召开的一个动力系统研讨班结束的时候,貌似解决了一个能很好地应用于动力系统的平面上的棘手问题。解决方案宣称:能把 N 个两两位置不同的点逐步移动到另外的 N 个点,使得在移动过程中不发生自交,并且每一步都整体只移动非常小的距离。坐在前排的资深动力系统专家们都乐观地相信这个结果,因为根据之前的经验,在三维以及更高维数的动力系统的应用中,由于这些点能摆成一般位置,这个结论显然是对的,如今该定理在二维的情形也应该成立。

  一个坐在教室最后排的长头发、大胡子的研究生站了起来,说证明中的算法是不成立的。他就是 Bill Thurston。他怯怯地走到黑板前面,画了两幅图,每幅图都有 7 个点。然后开始按照刚才的算法来操作。一开始出现的连线尽管很短很少,但毕竟挡住了另外一部分线的延伸方向。想把另外一部分线继续延长又同时避免出现交叉的话,必须从别的地方绕回来,于是各条线开始变得越来越长。在这个复杂的图示例子里,刚才的算法无效!我从未见过其他人有如此强的理解力,也从来没见过有人能如此之快就创造性地构造出反例。这让我从此对几何上可能出现的复杂性产生敬畏。

各个时期(上世纪70 年代、80 年代、90 年代)的 Thurston。

  故事二

  几天之后,伯克利的研究生们邀请我(那时我也同样是大胡子、长头发)在分隔办公区与电梯区的走廊墙壁上画一些与数学有关的壁画。就在准备画的时候,故事一里面提到的那位研究生跑来问我:“你觉得画这个东西有意思吗?”他给我看的是平面上围着三个点绕来绕去的一些复杂的一维对象。我问:“这是什么?”他的答案让我很惊讶:“它是一条简单闭曲线。”我说:“这一定很有趣!”

  于是我们就开始花几个小时一起在墙上画这条曲线。这真是一次非常棒的学习如何粘贴的体验。为了让这条曲线看起来较美观,首先得画一些较短的、彼此平行的、有些弯曲的短线(正如叶状结构局部方形邻域内的图案一样),然后再把它们光滑地接起来。我问他是如何想到这样的曲线的,他说:“从一条给定的简单闭曲线出发,科技时讯博览,不停地沿着中间的相交曲线作成对的 Dehn twist。”

  这幅 2 米高、4 米宽、画着曲线的壁画(见2003年《美国数学会通讯》第50卷第3期的封面)署有作者和日期:“DPS and BT, December, 1971”,它在伯克利的墙上保留了40多年,直到几年前才被擦去。

  过去在伯克利 Evans Hall 里由 Thurston 和 Sullivan 一起画的壁画。这个围着三个点绕来绕去的复杂图像实际上是一条简单闭曲线。| 摄影:Ken Ribet

  故事三

  上面两个故事在伯克利发生的那个星期,其实我只是从麻省理工学院访问伯克利,讲一系列关于微分形式和流形同伦论的课。那时候叶状结构与微分形式到处出现,并且成为研究的热潮,我想利用在我的研究中出现的1-形式来描述基本群的中心下降序列,进而构造叶状结构。这些叶状结构的叶子覆盖了从流形到它的幂零流形的映射图像。幂零流形就是从基本群的高阶幂零子群出发构造的流形。这其实是把利用同调来构造的到高维环面的 Abel 映射推广成幂零的情形。由于缺少 Lie 群的知识,我曾向麻省理工学院和哈佛大学的微分几何学家们请教这个推广的可能性,但我自己还是没弄明白。这些都太模糊、太代数化了。

  来到伯克利之后,我在第一次课上就提出这方面的问题,并私下里与 Bill 进行讨论。开始我并没有抱什么希望,因为这是奇怪的代数与几何的混合体。然而第二天,Bill 就想到了彻底的解决方法,并且给出了完整的解释。对于他来说,这些只是很初等的东西,涉及的几何知识也不多,仅仅是 Elie Cartan 的 dd=0 的对偶形式中的 Jacobi 关系。

  就在以上两个故事发生期间,我向我的老朋友 Moe Hirsch 提起了 Bill Thurston。Thurston 是 Moe 的博士生,那时候正处于博士阶段的第五年。我记得是 Moe 还是谁说过,Bill 开始念博士时进展很缓慢,甚至在口试时出了点小问题。当时 Bill 被要求举一个万有覆盖的例子,他选择了画亏格为2 的曲面的万有覆盖,在黑板上画出一些笨拙的八边形,八个八边形共用一个顶点。

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